En mathématiques, un sous-ensemble d'un espace topologique est appelé nulle part dense ou rare si sa fermeture a un intérieur vide. Dans un sens très large, c'est un ensemble dont les éléments ne sont étroitement regroupés nulle part. Par exemple, les entiers ne sont nulle part denses parmi les réels, alors qu'une balle ouverte ne l'est pas.
Comment prouver qu'un ensemble n'est nulle part dense ?
Un sous-ensemble A ⊆ X est appelé nulle part dense dans X si l'intérieur de la clôture de A est vide, c'est-à-dire (A)◦=∅. Autrement dit, A n'est nulle part dense ssi il est contenu dans un ensemble fermé à intérieur vide. Passant aux compléments, on peut dire de manière équivalente que A n'est dense nulle part si et seulement si son complémentaire contient un ouvert dense (pourquoi ?).
Qu'est-ce qu'un ensemble dense partout ?
Un sous-ensemble A d'un espace topologique X est dense dont la clôture est l'espace entier X (certains auteurs utilisent la terminologie partout dense). Une définition alternative courante est: un ensemble A qui intersecte chaque sous-ensemble ouvert non vide de X.
Est-ce que 1 N n'est nulle part dense ?
Un exemple d'un ensemble qui n'est pas fermé mais qui n'est encore nulle part dense est {1n|
∈N}. Il a un point limite qui n'est pas dans l'ensemble (à savoir 0), mais sa fermeture n'est toujours nulle part dense car aucun intervalle ouvert ne rentre dans {1n|n∈N}∪{0}.
Qu'est-ce que cela signifie si un ensemble est dense ?
En topologie et dans les domaines connexes des mathématiques, un sous-ensemble A d'un espace topologique X est appelé dense (dans X) si chaque point x de X appartient à A ou est un point limite de A; c'est-à-dire que la clôture de A constitue l'ensemble complet X.
