Tout groupe libre est un groupe résiduel fini , c'est-à-dire que pour chaque élément non-identique d'un groupe libre, il existe un sous-groupe normal sous-groupe normal Un sous-groupe normal d'un groupe normal sous-groupe d'un groupe doit not être normal dans le groupe. … Le plus petit groupe présentant ce phénomène est le groupe dièdre d'ordre 8. Or, un sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal est normal. Un groupe dans lequel la normalité est transitive est appelé un groupe T. https://en.wikipedia.org › wiki › Normal_subgroup
Sous-groupe normal - Wikipédia
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Les groupes sont-ils finis ?
Un groupe fini est un groupe ayant un ordre de groupe fini. Des exemples de groupes finis sont les groupes de multiplication modulo, les groupes ponctuels, les groupes cycliques, les groupes dièdres, les groupes symétriques, les groupes alternés, etc.
Est-ce qu'un groupe de type fini est fini ?
Par définition, tout groupe fini est de type fini, puisque S peut être considéré comme G lui-même. Tout groupe infini de génération finie doit être dénombrable mais les groupes dénombrables n'ont pas besoin d'être de génération finie. Le groupe additif de nombres rationnels Q est un exemple de groupe dénombrable qui n'est pas de type fini.
Comment prouver qu'un groupe est fini ?
Si G est un groupe fini, tout g ∈ G est d'ordre fini La preuve est la suivante. Puisque l'ensemble des puissances {ga: a ∈ Z} est un sous-ensemble de G et que les exposants a courent sur tous les entiers, un ensemble infini, il doit y avoir une répétition: ga=gb pour un certain a<b dans Z. Alors gb−a=e, donc g est d'ordre fini.
Quel groupe est appelé groupe résiduel ?
Exemples. Des exemples de groupes qui sont résiduellement finis sont groupes finis, les groupes libres, les groupes nilpotents de type fini, les groupes polycycliques par finis, les groupes linéaires de type fini et les groupes fondamentaux de 3-variétés compactes.
