Tous les groupes cycliques sont abéliens , mais un groupe abélien n'est pas nécessairement cyclique. Tous les sous-groupes d'un groupe abélien sont normaux. Dans un groupe abélien, chaque élément est dans une classe de conjugaison par lui-même, et la table de caractères implique des puissances d'un seul élément appelé générateur de groupe générateur de groupe est un ensemble d'éléments de groupe tel que l'application éventuellement répétée des générateurs sur eux-mêmes et les uns sur les autres est susceptible de produire tous les éléments du groupe. Les groupes cycliques peuvent être générés en tant que puissances d'un seul générateur. https://mathworld.wolfram.com › GroupGenerators
Générateurs de groupes -- de Wolfram MathWorld
Quel groupe n'est pas abélien ?
Un groupe non abélien, aussi parfois appelé groupe non commutatif, est un groupe dont certains éléments ne commutent pas. Le groupe non abélien le plus simple est le groupe dièdre D3, qui est d'ordre de groupe six.
Est-ce que tous les groupes simples sont abéliens ?
les seuls groupes abéliens simples sont les groupes d'ordre premier, qui sont tous finis. il existe une infinité de groupes simples, donc non abéliens.
Comment savoir si un groupe est abélien ?
Manières de montrer qu'un groupe est abélien
- Montrer le commutateur [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 de deux éléments arbitraires x, y∈G x, y ∈ G doit être l'identité.
- Montrer que le groupe est isomorphe à un produit direct de deux (sous)groupes abéliens.
Quel groupe est toujours abélien ?
Oui, tous les groupes cycliques sont abéliens. Voici un peu plus de détails qui aident à expliquer "pourquoi" tous les groupes cycliques sont abéliens (c'est-à-dire commutatifs). Soient G un groupe cyclique et g un générateur de G.
