roots, donc l'ensemble de toutes les racines possibles de tous les polynômes à coefficients entiers est une union dénombrable d'ensembles finis, donc au plus dénombrable. Il est évident que l'ensemble n'est pas fini, donc l'ensemble de tous les nombres algébriques sont dénombrables.
Les nombres algébriques sont-ils infinis ?
Par exemple, le corps de tous les nombres algébriques est une extension algébrique infinie des nombres rationnels … Q[π] et Q[e] sont des corps mais π et e sont transcendantal sur Q. Un corps algébriquement clos F n'a pas d'extensions algébriques propres, c'est-à-dire pas d'extensions algébriques E avec F < E.
Les nombres algébriques sont-ils dénombrables ?
Tous les entiers et les nombres rationnels sont algébriques, comme le sont toutes les racines des entiers.… L'ensemble des nombres complexes est indénombrable, mais l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable et a la mesure zéro dans la mesure de Lebesgue comme sous-ensemble des nombres complexes. En ce sens, presque tous les nombres complexes sont transcendants.
Qu'est-ce qui est considéré comme dénombrable infini ?
Un ensemble est dénombrable infini si ses éléments peuvent être mis en correspondance biunivoque avec l'ensemble des nombres naturels En d'autres termes, on peut compter tous les éléments dans l'ensemble de telle manière que, même si le décompte prendra une éternité, vous arriverez à n'importe quel élément particulier dans un laps de temps fini.
Est-ce que tous les nombres algébriques sont constructibles ?
Tous les nombres algébriques ne sont pas constructibles Par exemple, les racines d'une simple équation polynomiale du troisième degré x³ - 2=0 ne sont pas constructibles. (Il a été prouvé par Gauss que pour être constructible un nombre algébrique doit être une racine d'un polynôme entier de degré qui est une puissance de 2 et pas moins.)
