Officieusement, un groupe est cyclique s'il est généré par un seul élément. Il est abélien si la multiplication commute. Un groupe est cyclique s'il peut être généré par un seul élément.
Un groupe abélien est-il cyclique ?
Tous les groupes cycliques sont abéliens, mais un groupe abélien n'est pas nécessairement cyclique. Tous les sous-groupes d'un groupe abélien sont normaux. Dans un groupe abélien, chaque élément est dans une classe de conjugaison par lui-même, et la table de caractères implique des puissances d'un seul élément connu sous le nom de générateur de groupe.
Comment prouver qu'un groupe abélien est cyclique ?
Preuve
- Soit G un groupe cyclique de générateur g∈G. A savoir, nous avons G=⟨g⟩ (chaque élément de G est une puissance de g.)
- Soient a et b des éléments quelconques de G. Alors il existe n, m∈Z tels que a=gn et b=gm.
- On obtient donc ab=ba pour a, b∈G arbitraires. Donc G est un groupe abélien.
Comment savoir si un groupe est cyclique ?
4 réponses. Un groupe fini est cyclique si, et seulement si, il a précisément un sous-groupe de chaque diviseur de son ordre. Donc, si vous trouvez deux sous-groupes du même ordre, alors le groupe n'est pas cyclique, et cela peut parfois aider.
Qu'est-ce qu'un groupe cyclique expliqué avec un exemple ?
Par exemple, (Z/6Z)×={1, 5} , et comme 6 est deux fois un nombre premier impair, cela est un groupe cyclique. … Lorsque (Z/nZ)× est cyclique, ses générateurs sont appelés racines primitives modulo n. Pour un nombre premier p, le groupe (Z/pZ)× est toujours cyclique, constitué des éléments non nuls du corps fini d'ordre p.
