Manières de montrer qu'un groupe est abélien
- Montrer le commutateur [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 de deux éléments arbitraires x, y∈G x, y ∈ G doit être l'identité.
- Montrer que le groupe est isomorphe à un produit direct de deux (sous)groupes abéliens.
Comment savoir si un groupe est commutatif ?
Si la loi commutative est vraie dans un groupe, alors un tel groupe est appelé groupe abélien ou groupe commutatif. Ainsi le groupe (G, ∗) est dit groupe abélien ou groupe commutatif si a∗b=b∗a, ∀a, b∈G. Un groupe qui n'est pas abélien est appelé un groupe non abélien.
Comment montrer qu'un groupe n'est pas abélien ?
Définition 0.3: Groupe abélien Si un groupe a la propriété ab=ba pour tout couple d'éléments a et b, on dit que le groupe est abélien. Un groupe est non abélien s'il existe une paire d'éléments a et b pour laquelle ab=ba.
Qu'est-ce qui rend un groupe non abélien ?
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe non abélien, parfois appelé groupe non commutatif, est un groupe (G, ∗) dans lequel il existe au moins une paire de éléments a et b de G, tels que a ∗ b ≠ b ∗ a Cette classe de groupes s'oppose aux groupes abéliens.
Chaque groupe est-il abélien ?
Tous les groupes cycliques sont abéliens, mais un groupe abélien n'est pas nécessairement cyclique. Tous les sous-groupes d'un groupe abélien sont normaux. Dans un groupe abélien, chaque élément est dans une classe de conjugaison par lui-même, et la table de caractères implique des puissances d'un seul élément connu sous le nom de générateur de groupe.
