Si les fonctions fi sont linéairement dépendantes, alors les colonnes du Wronskian le sont aussi car la différenciation est une opération linéaire, donc le Wronskian disparaît. Ainsi, le Wronskian peut être utilisé pour montrer qu'un ensemble de fonctions différentiables est linéairement indépendant sur un intervalle en montrant qu'il ne s'annule pas à l'identique.
Qu'entend-on par Wronskian ?
: un déterminant mathématique dont la première ligne est constituée de n fonctions de x et dont les lignes suivantes sont constituées des dérivées successives de ces mêmes fonctions par rapport à x.
Que se passe-t-il lorsque le Wronskian vaut 0 ?
Si f et g sont deux fonctions différentiables dont le Wronskian est différent de zéro en tout point, alors elles sont linéairement indépendantes.… Si f et g sont les deux solutions de l'équation y + ay + by=0 pour certains a et b, et si le Wronskian est nul en tout point du domaine, alors il est zéro partoutet f et g sont dépendants.
Comment utiliser Wronskian pour prouver l'indépendance linéaire ?
Soit f et g dérivable sur [a, b]. Si Wronskian W(f, g)(t0) est non nul pour un certain t0 dans [a, b] alors f et g sont linéairement indépendants sur [a, b]. Si f et g sont linéairement dépendants alors le Wronskien est nul pour tout t dans [a, b].
Comment savoir si deux équations sont linéairement indépendantes ?
Une autre définition: deux fonctions y 1 et y 2 sont dites linéairement indépendantes si aucune des fonctions est un multiple constant de l'autre Par exemple, les fonctions y 1=x 3 et y 2 =5 x 3 ne sont pas linéairement indépendants (ils sont linéairement dépendants), puisque y 2 est clairement un multiple constant de y 1
