Preuve par induction que transposer une matrice ne change pas son déterminant.
Qu'arrive-t-il au déterminant lorsque la matrice est transposée ?
Le déterminant de la transposée d'une matrice carrée est égal au déterminant de la matrice, c'est-à-dire |At|=|A| … Alors son déterminant est 0. Mais le rang d'une matrice est le même que le rang de sa transposée, donc At a un rang inférieur à n et son déterminant est aussi 0.
Est-ce que l'inversion d'une matrice change le déterminant ?
On admet que det(AB)=det(A)det(B), donc det(A)det(A−1)=1. En d'autres termes, une matrice inversible a un déterminant inversible (multiplicativement). (Si vous travaillez sur un champ, cela signifie simplement que le déterminant est différent de zéro.)
L'échange de lignes change-t-il le déterminant ?
Si nous ajoutons une ligne (colonne) de A multipliée par un scalaire k à une autre ligne (colonne) de A, alors le déterminant ne changera pas. Si nous échangeons deux lignes (colonnes) dans A, le déterminant changera de signe.
