La matrice de Fourier n × n est une matrice de Hadamard complexe avec l'entrée (j, k) (1 / n) e (2 i π / n) j k pour j, k=1, 2, …, n. On peut montrer qu'il est unitaire et n'a pas d'entrée nulle.
Comment savoir si une matrice est unitaire ?
Une matrice unitaire est une matrice dont l'inverse est égal à la transposée conjuguée. Les matrices unitaires sont l'analogue complexe des matrices orthogonales réelles. Si U est une matrice carrée complexe, alors les conditions suivantes sont équivalentes: U est unitaire.
Une matrice unitaire peut-elle être réelle ?
Si toutes les entrées d'une matrice unitaire sont réelles (c'est-à-dire que leurs parties complexes sont toutes nulles), alors la matrice est dite orthogonale. Puisqu'une matrice orthogonale est unitaire, toutes les propriétés des matrices unitaires s'appliquent aux matrices orthogonales.
Toutes les matrices unitaires sont-elles normales ?
Une matrice normale est unitaire si et seulement si toutes ses valeurs propres (son spectre) se trouvent sur le cercle unitaire du plan complexe. Autrement dit: Une matrice normale est hermitienne si et seulement si toutes ses valeurs propres sont réelles. En général, la somme ou le produit de deux matrices normales n'a pas besoin d'être normal.
Les matrices unitaires sont-elles auto-adjointes ?
Remarquez que les matrices auto-adjointes et les matrices unitaires sont normales et donc diagonalisables orthogonalement.
