Si A est une matrice m × n, alors ATA et AAT ont les mêmes valeurs propres non nulles … Donc Ax est un vecteur propre de AAT correspondant à la valeur propre λ. Un argument analogue peut être utilisé pour montrer que chaque valeur propre non nulle de AAT est une valeur propre de ATA, complétant ainsi la preuve.
Les valeurs propres de AAT et ATA sont-elles identiques ?
Les matrices AAT et ATA ont les mêmes valeurs propres non nulles. La section 6.5 a montré que les vecteurs propres de ces matrices symétriques sont orthogonaux.
Est-ce que ATA est identique à AAT ?
Puisque AAT et ATA sont symétriques réels, ils peuvent être diagonalisés avec des matrices orthogonales. Il découle de l'énoncé précédent (puisque les multiplicités géométriques et algébriques coïncident) que AAT et ATA ont les mêmes valeurs propres.
Est-ce que ATA a des valeurs propres distinctes ?
Vrai. Par exemple, si A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , alors l'équation caractéristique det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 n'a pas de racine répétée. Donc toutes les valeurs propres de A sont distinctes et A est diagonalisable. 3.35 Pour toute matrice réelle A, AtA est toujours diagonalisable.
Est-ce que différents vecteurs propres peuvent avoir la même valeur propre ?
Deux vecteurs propres distincts correspondant à la même valeur propre sont toujours linéairement dépendants. Deux vecteurs propres distincts correspondant à la même valeur propre sont toujours linéairement dépendants.
