Exemple: L'anneau Z d'entiers gaussiens est un Z-module de type fini, et Z est noéthérien. D'après le théorème précédent, Z est un anneau noethérien. Théorème: les anneaux de fractions d'anneaux noethériens sont noethériens.
Z X est-il un anneau noethérien ?
L'anneau Z[X, 1 /X] est noéthérien puisqu'il est isomorphe à Z[X, Y]/(XY − 1).
Pourquoi Z Noetherian ?
Mais il n'y a qu'un nombre fini d'idéaux dans Z qui contiennent I1 puisqu'ils correspondent aux idéaux de l'anneau fini Z/(a) d'après le lemme 1.21. Donc la chaîne ne peut pas être infiniment longue, et donc Z est noethérien.
Qu'est-ce qu'un domaine noethérien ?
Tout anneau idéal principal, comme les nombres entiers, est noethérien puisque tout idéal est généré par un seul élémentCela inclut les domaines idéaux principaux et les domaines euclidiens. Un domaine de Dedekind (par exemple, des anneaux d'entiers) est un domaine noethérien dans lequel chaque idéal est généré par au plus deux éléments.
Comment prouver qu'un anneau est noethérien ?
Théorème Un anneau R est noéthérien si et seulement si tout ensemble non vide d'idéaux de R contient un élément maximal Preuve ⇐=Soit I1 ⊆ I2 ⊆··· une chaîne ascendante d'idéaux de R. Posons S={I1, I2, …}. Si chaque ensemble non vide d'idéaux contient un élément maximal alors S contient un élément maximal, disons IN.
