Un sous-groupe normal est un sous-groupe qui est invariant par conjugaison par tout élément du groupe d'origine: H est normal si et seulement si g H g − 1=H gHg^ {-1}=H gHg−1=H pour tout. g \in G. De manière équivalente, un sous-groupe H de G est normal si et seulement si g H=H g gH=Hg gH=Hg pour tout g ∈ G g \in G g∈G. …
Comment prouver qu'un sous-groupe est normal ?
La meilleure façon d'essayer de prouver qu'un sous-groupe est normal est de montrer qu'il satisfait à l'une des définitions standard équivalentes de la normalité
- Construire un homomorphisme en l'ayant comme noyau.
- Vérifier l'invariance sous les automorphismes internes.
- Déterminer ses cosets gauche et droit.
- Calculer son commutateur avec tout le groupe.
Qu'appelle-t-on sous-groupe normal ?
En algèbre abstraite, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe invariant ou sous-groupe auto-conjugué) est un sous-groupe qui est invariant par conjugaison par les membres du groupe dont c'est une partie.
Pourquoi les sous-groupes normaux sont-ils importants ?
Les sous-groupes normaux sont importants car ils sont exactement les noyaux des homomorphismes. En ce sens, ils sont utiles pour examiner des versions simplifiées du groupe, via des groupes de quotients.
Est-ce qu'un sous-groupe d'un groupe normal est normal ?
Plus généralement, tout sous-groupe à l'intérieur du centre d'un groupe est normal. Il n'est cependant pas vrai que si chaque sous-groupe d'un groupe est normal, alors le groupe doit être abélien.
