Parce qu'un isomorphisme préserve certains aspects structurels d'un ensemble ou d'un groupe mathématique, il est souvent utilisé pour mapper un ensemble compliqué sur un ensemble plus simple ou mieux connu afin d'établir les propriétés de l'ensemble d'origine. Les isomorphismes sont l'un des sujets étudiés en théorie des groupes.
Qu'est-ce que la fonction d'isomorphisme ?
En algèbre abstraite, un isomorphisme de groupe est une fonction entre deux groupes qui établit une correspondance biunivoque entre les éléments des groupes d'une manière qui respecte les opérations de groupe donnéesS'il existe un isomorphisme entre deux groupes, alors les groupes sont dits isomorphes.
Qu'est-ce qui fait un isomorphisme ?
Définition 1 (Isomorphisme des espaces vectoriels). Deux espaces vectoriels V et W sur un même corps F sont isomorphes si il existe une bijection T: V → W qui préserve l'addition et la multiplication scalaire, c'est-à-dire pour tous les vecteurs u et v dans V, et tous les scalaires c ∈ F, T(u + v)=T(u) + T(v) et T(cv)=cT(v).
Quel est l'avantage d'un isomorphisme entre deux groupes ?
Groupes possède diverses propriétés ou caractéristiques qui sont préservées dans l'isomorphisme Un isomorphisme préserve des propriétés comme l'ordre du groupe, si le groupe est abélien ou non abélien, le nombre de éléments de chaque ordre, etc. Deux groupes qui diffèrent par l'une de ces propriétés ne sont pas isomorphes.
Quelle est la propriété de l'isomorphisme ?
Théorème 1: Si l'isomorphisme existe entre deux groupes, alors les identités correspondent, c'est-à-dire si f:G→G′ est un isomorphisme et e, e′ sont respectivement les identités dans G, G′, alors f(e)=e′.
